Usando o teste de comparação com limite de séries, estudar a convergência da série
.
Passo 1
Nesse exercício vamos analisar a série
. O conteúdo principal é o estudo de convergência de séries numéricas usando o teste de comparação com limite. Vamos precisar do comportamento de
quando
e da definição do teste de comparação com limite.
Passo 2
Para aplicar o teste de comparação com limite, escolhemos as sequências positivas
sendo
os termos da série harmônica conhecida por divergir.
Passo 3
Devemos então calcular o limite
Note que, com
, temos
quando
.
Passo 4
Usando a expansão de Taylor ou o limite clássico, para
vale
e
Assim,
Passo 5
Como o limite
é finito e positivo (
) e sabemos que a série
diverge, pelo teste de comparação com limite concluímos que
Também diverge.
Também diverge.
Resposta
A série
diverge.