Usando o teste de comparação com limite de séries, estudar a convergência da série .

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a série sumn=1^infty tanl(1/nr). O conteúdo principal é o estudo de convergência de séries numéricas usando o teste de comparação com limite. Vamos precisar do comportamento de tan(x) quando xto0 e da definição do teste de comparação com limite.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação com limite, escolhemos as sequências positivas
an = tanl(1/nr), bn = 1n,
sendo bn os termos da série harmônica conhecida por divergir.

Passo 3

Devemos então calcular o limite
L = limntoinfty anbn = limntoinfty tan(1/n)1/n
Note que, com x = 1/n, temos xto0 quando ntoinfty.

Passo 4

Usando a expansão de Taylor ou o limite clássico, para xto0 vale
tan(x) = x + o(x)
e
limxto0 tan(x)x = 1
Assim,
L = limntoinfty ntanl(1/nr) = limxto0 tan(x)x = 1

Passo 5

Como o limite L é finito e positivo ( 0) e sabemos que a série sum bn = sum 1/n diverge, pelo teste de comparação com limite concluímos que
sum an = sum tan(1/n)
Também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty tanl(1/nr) diverge.

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