Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver pelo método da variação de parâmetros a equação
uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso vamos precisar da solução geral da parte homogênea, da base de soluções, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
Começamos resolvendo a homogênea
A equação característica é
cuja raiz são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Escolhemos como base de soluções particulares da homogênea
Em seguida calculamos o Wronskiano
Passo 4
Pelas fórmulas de variação de parâmetros definimos
u1'(x) = -y2(x)f(x)W(x), u2'(x) = y1(x)f(x)W(x),
sendo f(x) = 11+e^x
Substituindo obtemos
u1'(x) = e^-2x(1+e^x)(-e^-3x) = e^x1+e^x,
u2'(x) = e^-x(1+e^x)(-e^-3x) = -e^2x1+e^x
Passo 5
Agora integramos para achar as funções de variação de constantes. Primeiro note que
e^x1+e^x = 1 - 11+e^x,
então u1(x) = integral e^x1+e^x ,dx = x - ln(1+e^x)
Para u2 escrevemos
e^2x1+e^x = e^x - e^x1+e^x,
assim u2(x) = -integral e^2x1+e^x ,dx = -e^x + x - ln(1+e^x)
Passo 6
O particular é
yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
Substituindo, fica yp(x) = (x - ln(1+e^x))e^-x + (-e^x + x - ln(1+e^x))e^-2x
Portanto a solução geral da equação completa é a soma de yc e yp.