Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método da variação de parâmetros a equação
y'' + 3y' + 2y = 11+e^x,
uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso vamos precisar da solução geral da parte homogênea, da base de soluções, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos resolvendo a homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja raiz são
r = -1 e r = -2
Logo a solução geral da homogênea é
yc(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 3

Escolhemos como base de soluções particulares da homogênea
y1(x) = e^-x, y2(x) = e^-2x
Em seguida calculamos o Wronskiano
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' = e^-x(-2e^-2x) - (-e^-x)(e^-2x) = -e^-3x

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros definimos
u1'(x) = -y2(x)f(x)W(x), u2'(x) = y1(x)f(x)W(x),
sendo
f(x) = 11+e^x
Substituindo obtemos
u1'(x) = e^-2x(1+e^x)(-e^-3x) = e^x1+e^x,
u2'(x) = e^-x(1+e^x)(-e^-3x) = -e^2x1+e^x

Passo 5

Agora integramos para achar as funções de variação de constantes. Primeiro note que
e^x1+e^x = 1 - 11+e^x,
então
u1(x) = integral e^x1+e^x ,dx = x - ln(1+e^x)
Para u2 escrevemos
e^2x1+e^x = e^x - e^x1+e^x,
assim
u2(x) = -integral e^2x1+e^x ,dx = -e^x + x - ln(1+e^x)

Passo 6

O particular é
yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
Substituindo, fica
yp(x) = (x - ln(1+e^x))e^-x + (-e^x + x - ln(1+e^x))e^-2x
Portanto a solução geral da equação completa é a soma de yc e yp.

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + (x - ln(1+e^x))e^-x + (-e^x + x - ln(1+e^x))e^-2x

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