Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem y’’ - 2y’ + y = e^{-x} usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea, do Wronskiano das soluções independentes e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro a gente resolve a equação homogênea associada y’’ - 2y’ + y = 0. A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r = 1. Logo, as soluções fundamentais são y_1(x) = e^x e y_2(x) = x e^x.

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano W = y_1 y_2’ - y_1’ y_2. Como y_1 = e^x e y_2 = x e^x , temos
y1' = e^x, y2' = e^x + x e^x = (1 + x)e^x
portanto
W = e^x cdot (1 + x)e^x - e^x cdot x e^x = e^2x

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que
u1' = -y2 , g(x)W, nu2' = y1 , g(x)W
onde g(x) = e^{-x}. Substituindo:
u1' = -x e^x cdot e^-xe^2x = -x e^-2x, nu2' = e^x cdot e^-xe^2x = e^-2x

Passo 5

Integramos para encontrar ν_1 e ν_2 (desprezando constantes de integração, pois entram na parte homogênea):
nu1 = integral (-x e^-2x) ,dx = 2x + 14 e^-2x, nu2 = integral e^-2x ,dx = -tfrac12 e^-2x

Passo 6

A solução particular é dada por
yp = nu1 y1 + nu2 y2
Substituindo tudo:
yp = 2x + 14 e^-2x cdot e^x ;+ ; l(-tfrac12 e^-2xr) cdot (x e^x) = 2x + 14 e^-x - x2 e^-x = e^-x4

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^x + C2 x e^x + e^-x4

Resposta

y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + \frac{e^{-x}}{4}

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