Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem y’’ - 2y’ + y = e^{-x} usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea, do Wronskiano das soluções independentes e das fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro a gente resolve a equação homogênea associada y’’ - 2y’ + y = 0. A equação característica é
que tem raiz dupla r = 1. Logo, as soluções fundamentais são y_1(x) = e^x e y_2(x) = x e^x.
Passo 3
Agora calculamos o Wronskiano W = y_1 y_2’ - y_1’ y_2. Como y_1 = e^x e y_2 = x e^x , temos
portanto
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que
onde g(x) = e^{-x}. Substituindo:
Passo 5
Integramos para encontrar ν_1 e ν_2 (desprezando constantes de integração, pois entram na parte homogênea):
Passo 6
A solução particular é dada por
Substituindo tudo:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + \frac{e^{-x}}{4}