Usando o teste da razão, estudar a convergência da série sumn=1 e^raiz1+raiz2+raiz3+cdots+raiznn!, ou seja, sumn=1 e^sumk=1^n raizkn!.

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty e^sumk=1^nraizkn! e vamos usar o teste da razão: calcular L=limntoinftyan+1an e comparar com 1 para decidir convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral an=e^Snn!, onde Sn=sumk=1^nraizk. Precisamos calcular rn=an+1an

Passo 3

Substituindo an+1=e^Sn+1(n+1)! e an, obtemos
rn=e^Sn+1(n+1)!cdotn!e^Sn=e^Sn+1-Snn+1=e^raizn+1n+1,
pois Sn+1-Sn=raizn+1.

Passo 4

Estudamos o limite de rn analisando seu logaritmo:
ln rn=raizn+1-ln(n+1)
Como raizn+1 cresce muito mais rápido que ln(n+1), segue que ln rnto+infty e portanto rntoinfty.

Passo 5

O limite do quociente é L=infty>1. Pelo teste da razão, se L>1 a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o teste da razão dá limite infinito (maior que 1).

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