Determine a imagem das funções
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a imagem (ou conjunto-alvo) da função f definida por f(x)=x+1/x para x em (0,∞). O conteúdo envolve estudo de função real, derivada para achar extremos e análise de limites para comportamento nas pontas do domínio.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de f para identificar possíveis extremos. Temos
Derivando em relação a x:
Para achar pontos críticos, igualamos a zero:
$$
1-\frac{1}{x^2}=0\implies x^2=1\implies x=1$$
Como x>0, só x=1 vale. Para ver que é mínimo, observamos f’’(x)=2/x^3>0 em (0,∞), logo f tem mínimo em x=1.
Como x>0, só x=1 vale. Para ver que é mínimo, observamos f’’(x)=2/x^3>0 em (0,∞), logo f tem mínimo em x=1.
Passo 3
Agora avaliamos o valor mínimo e o comportamento nos extremos do domínio. Em x=1:
Nos limites das pontas do domínio:
Isso mostra que f(x) nunca fica abaixo de 2 e cresce sem limite nas duas extremidades, obtendo o valor mínimo 2.
Passo 4
Portanto, a imagem de f no intervalo (0,∞) é todos os valores y tais que y≥2.