Determine a imagem das funções
f(x)=x+1x, x in(0, infty)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a imagem (ou conjunto-alvo) da função f definida por f(x)=x+1/x para x em (0,∞). O conteúdo envolve estudo de função real, derivada para achar extremos e análise de limites para comportamento nas pontas do domínio.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f para identificar possíveis extremos. Temos
f(x)=x+1x
Derivando em relação a x:
f'(x)=1-1x^2
Para achar pontos críticos, igualamos a zero:
$$
1-\frac{1}{x^2}=0\implies x^2=1\implies x=1$$
Como x>0, só x=1 vale. Para ver que é mínimo, observamos f’’(x)=2/x^3>0 em (0,∞), logo f tem mínimo em x=1.

Passo 3

Agora avaliamos o valor mínimo e o comportamento nos extremos do domínio. Em x=1:
f(1)=1+1=2
Nos limites das pontas do domínio:
limxto0^+f(x)=limxto0^+l(x+1xr)=+infty
limxto+inftyf(x)=+infty
Isso mostra que f(x) nunca fica abaixo de 2 e cresce sem limite nas duas extremidades, obtendo o valor mínimo 2.

Passo 4

Portanto, a imagem de f no intervalo (0,∞) é todos os valores y tais que y≥2.

Resposta

[2,infty)

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