1. Determine a imagem da região R:|x|+|y| <= 1 pela mudança de coordenadas T:(u, v)= (x+y, x-y). Qual a imagem da hipérbole x y=1 por T ?

Passo 1

O enunciado dá a região
R = (x,y)mid |x|+|y|<= 1
e a transformação linear
T:(u,v) = (x+y,;x-y)
O objetivo é achar a imagem de R no plano uv e também a imagem da hipérbole xy=1.

Passo 2

Para entender T invertamos a relação
u = x+y, v = x-y
Somando e subtraindo essas equações obtemos
u+v = 2xLongrightarrow x = u+v2,
u-v = 2yLongrightarrow y = u-v2

Passo 3

Substituímos essas expressões na desigualdade de R:
|x|+|y| <= 1 Longrightarrow l|tfracu+v2r| + l|tfracu-v2r| <= 1
Longrightarrow |u+v| + |u-v| <= 2
Uma propriedade importante é
|u+v| + |u-v| ;=; 2,maxl(|u|,|v|r)
Logo a condição vira
2,maxl(|u|,|v|r)<= 2 Longrightarrow maxl(|u|,|v|r)<= 1,
ou seja
|u|<= 1 e |v|<= 1
Portanto a imagem de R é exatamente o quadrado
(u,v)mid -1<= u<= 1,;-1<= v<= 1

Passo 4

Agora vejamos a hipérbole xy=1. Substituindo x=(u+v)/2 e y=(u-v)/2 temos
u+v2,u-v2 = 1 Longrightarrow u^2 - v^24 = 1 Longrightarrow u^2 - v^2 = 4
Isto mostra que T leva a hipérbole xy=1 na hipérbole
u^2 - v^2 = 4
no plano uv.

Resposta

A imagem de R é o quadrado
(u,v)mid |u|<=1,;|v|<=1
A imagem da hipérbole xy=1 é a hipérbole
u^2 - v^2 = 4

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