- Determine a imagem da região
pela mudança de coordenadas
. Qual a imagem da hipérbole
por
?
Passo 1
O enunciado dá a região
e a transformação linear
O objetivo é achar a imagem de
no plano
e também a imagem da hipérbole
.
Passo 2
Para entender
invertamos a relação
Somando e subtraindo essas equações obtemos
Passo 3
Substituímos essas expressões na desigualdade de
:
Uma propriedade importante é
Logo a condição vira
ou seja
Portanto a imagem de
R é exatamente o quadrado
Passo 4
Agora vejamos a hipérbole
xy=1 . Substituindo
x=(u+v)/2 e
y=(u-v)/2 temos
Isto mostra que
T leva a hipérbole
xy=1 na hipérbole
no plano
uv .
Resposta
A imagem de
R é o quadrado
A imagem da hipérbole
xy=1 é a hipérbole