(3.) Determine se a integral imprópria
converge ou diverge.
pontos
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. O conteúdo envolve análise de convergência de integrais impróprias e cálculo efetivo usando integração por partes.
Passo 2
Separemos o estudo em duas regiões: próximo de
e em
.
Para perto de
, temos
Para
e sabemos que
Logo, não há problema de divergência em
.
Passo 3
Para
tendendo a
, a parte exponencial domina o polinômio, pois
e comparando com, por exemplo,
(cuja integral no infinito é finita), concluímos que
é convergente. Assim, a integral total tem chance de convergir.
Passo 4
Para ter certeza e obter até o valor, calculamos a integral por partes:
Escolha e
. Então
Escolha
Aplicando integração por partes:
O termo de fronteira vale zero porque
em ambas as extremidades. Logo
Resposta
A integral converge e seu valor é
.