(3.) Determine se a integral imprópria integral0^infty x e^-3 x d x converge ou diverge. (2,0 pontos )

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral0^infty x,e^-3x,dx
converge ou diverge. O conteúdo envolve análise de convergência de integrais impróprias e cálculo efetivo usando integração por partes.

Passo 2

Separemos o estudo em duas regiões: próximo de 0 e em +infty.
Para x perto de 0, temos
0 <= x,e^-3x <= x,
e sabemos que
integral0^1 x,dx = tfrac12 < infty
Logo, não há problema de divergência em 0.

Passo 3

Para x tendendo a +infty, a parte exponencial domina o polinômio, pois
limxtoinfty x,e^-3x = 0
e comparando com, por exemplo, e^-2x (cuja integral no infinito é finita), concluímos que
integral1^infty x,e^-3x,dx
é convergente. Assim, a integral total tem chance de convergir.

Passo 4

Para ter certeza e obter até o valor, calculamos a integral por partes:
Escolha u = x e dv = e^-3xdx. Então
du = dx, v = integral e^-3xdx = -tfrac13e^-3x
Aplicando integração por partes:
integral0^infty x,e^-3x,dx = l[-tfracx3e^-3xr]0^infty - integral0^inftyl(-tfrac13e^-3xr),dx
O termo de fronteira vale zero porque x,e^-3xto0 em ambas as extremidades. Logo
integral0^infty x,e^-3x,dx = tfrac13integral0^infty e^-3x,dx = tfrac13l[,-tfrac13e^-3xr]0^infty = tfrac13cdottfrac13 = tfrac19

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac19.

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