Encontre a área sob a curva y=1x^3 para x >= 12. (2,0 pontos )

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y = tfrac1x^3 para x >= tfrac12. Isso é uma integral imprópria de uma função do tipo x^-p com p=3>1, portanto esperamos que a área convirja. Vamos calcular
A = integral12^infty 1x^3,dx

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como limite:
A = limb to infty integral12^b x^-3,dx
Para resolver, usamos a regra de potência para integrais: para alpha neq -1,
integral x^alpha,dx = x^alpha+1alpha+1 + C

Passo 3

No nosso caso alpha = -3, logo
integral x^-3,dx = x^-3+1-3+1 + C = x^-2-2 + C = -12x^2 + C

Passo 4

Substituindo nos limites de integração e aplicando o limite b to infty:
A = limb to inftyl[-tfrac12b^2 - l(-tfrac12(tfrac12)^2r)r] = limb to inftyl[-tfrac12b^2 + tfrac12cdot14r]
Como tfrac1b^2to0, sobra
A = 12cdot14 = 112 = 2

Resposta

A área sob a curva é 2.

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