Verifique que as seguintes fórmulas são correta.
integral raiza^2-x^2x^4 d x=raiza^2-x^2a^2 x-13 a^2 integral raiza^2-x^2x^2 d x+k

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de integrais
integral raiza^2-x^2x^4,dx = raiza^2-x^2a^2x -13a^2integral raiza^2-x^2x^2,dx +K,
ou seja, queremos mostrar que, diferenciando o lado direito, recuperamos o integrando raiza^2-x^2/x^4.

Passo 2

Calculemos a derivada da primeira parcela do lado direito,
F(x)=raiza^2-x^2a^2x
Usamos a regra do quociente:
F'(x) = a^2x,ddxl(raiza^2-x^2r)-raiza^2-x^2;a^2(a^2x)^2
Como
tfracddxraiza^2-x^2 =-dfracxraiza^2-x^2,
temos
F'(x) = a^2xl(-xraiza^2-x^2r)-a^2raiza^2-x^2 a^4x^2 = -1x^2,raiza^2-x^2

Passo 3

Agora a derivada da segunda parcela
G(x)=-13a^2 integral raiza^2-x^2x^2,dx
é, pelo teorema fundamental do cálculo,
G'(x) =-13a^2;raiza^2-x^2x^2

Passo 4

Somando F'(x)+G'(x) obtemos
F'(x)+G'(x) =-1x^2raiza^2-x^2 ;-;13a^2;raiza^2-x^2x^2 = -3a^2+(a^2-x^2)3a^2,x^2raiza^2-x^2,
pois 3a^2+(a^2-x^2)=4a^2-x^2. Logo
F'(x)+G'(x) =-4a^2-x^23a^2,x^2raiza^2-x^2

Passo 5

Para que a identidade original fosse válida, deveríamos ter
F'(x)+G'(x)=raiza^2-x^2x^4
Mas comparar
-4a^2-x^23a^2,x^2raiza^2-x^2 com raiza^2-x^2x^4
mostra que eles não coincidem identicamente. Concluímos, portanto, que a fórmula dada não é correta.

Resposta

A verificação por diferenciação mostra que o lado direito não produz raiza^2-x^2/x^4, logo a identidade apresentada é incorreta.

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