1. Determine a imagem da reta x=lambda pela mudança T(x, y)=(e^x cos y, e^x sen y).

Passo 1

O enunciado pede a imagem da reta x=lambda pelo mapeamento
T(x,y) = l(e^xcos y,;e^xsin yr)
O conteúdo é interpretar geometricamente como esse mapeamento transforma a reta vertical x=lambda.

Passo 2

Na reta x=lambda, a única variável livre é y. Logo o ponto (x,y) vira
T(lambda,y) = l(u(y),v(y)r) com u(y) = e^lambdacos y, v(y) = e^lambdasin y

Passo 3

Para mostrar que esses pontos formam um círculo, calculamos
u(y)^2 + v(y)^2 = l(e^lambdacos yr)^2 + l(e^lambdasin yr)^2 = e^2lambdal(cos^2y + sin^2yr) = e^2lambda

Passo 4

Como u^2+v^2=e^2lambda é constante, a imagem é o círculo de centro na origem e raio e^lambda.

Resposta

A imagem da reta x=lambda é o conjunto
(u,v)inR^2mid u^2+v^2=e^2lambda,
ou seja, o círculo de raio e^lambda centrado em (0,0).

Exercícios relacionados