sumn=1^infty (ln n)^2n^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty (ln n)^2n^3/2
O conteúdo envolve testes de convergência de séries de termos positivos; vamos usar o teste integral e, se necessário, comparação assintótica.

Passo 2

Definimos a função contínua, positiva e eventualmente decrescente
f(x) = (ln x)^2x^3/2, x>=1
Pelo teste integral, a série converge se e somente se a integral imprópria
integral1^infty f(x),dx
converge.

Passo 3

Calculamos a integral por substituição. Seja t = ln x, então x = e^t e dx = e^t,dt. Assim
integral1^infty (ln x)^2x^3/2,dx = integral0^infty t^2(e^t)^3/2,e^t,dt = integral0^infty t^2e^-tfrac12t,dt

Passo 4

Reconhecemos a integral da forma integral0^infty t^2e^-a t,dt = 2a^3 para a>0. Aqui a = tfrac12, logo
integral0^infty t^2e^-tfrac12 t,dt = 2(tfrac12)^3 = 16,
que é finita. Pelo teste integral, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (ln n)^2n^3/2 converge.

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