1. Esboce no plano x y a região delimitada pelas parábolas x^2=y, x^2=2 y, y^2=x e y^2=2 x e determine a imagem dessa região pela mudança de coordenadas x^2=y u, y^2=x v.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano xy a região que fica entre as quatro parábolas
x^2 = y, x^2 = 2y, y^2 = x, y^2 = 2x
e depois determinar como essa região se transforma ao mudar de variáveis por
u = x^2y, v = y^2x
O conteúdo aqui é reconhecimento de curvas de nível da transformação e mapeamento de fronteiras.

Passo 2

Vamos entender como é a região no plano xy. Todas as quatro parábolas estão no primeiro quadrante:
  • x^2 = y e x^2 = 2y são aberturas para cima, com vértices em (0,0), uma mais “fina” que a outra;
  • y^2 = x e y^2 = 2x são aberturas para a direita, também com vértice em (0,0).
    Elas se cruzam criando uma “folha” limitada por essas quatro curvas, toda em x>=0, y>=0.

Passo 3

Na mudança de variáveis temos
u = x^2y, v = y^2x
Em cada fronteira original, u ou v fica constante:
  • Se x^2 = y então u = x^2/y = 1.
  • Se x^2 = 2y então u = 2.
  • Se y^2 = x então v = y^2/x = 1.
  • Se y^2 = 2x então v = 2.

Passo 4

Portanto, a região em (u,v) é simplesmente o retângulo cujas arestas são as linhas
u = 1, u = 2, v = 1, v = 2
Ou seja,
1 <= u <= 2, 1 <= v <= 2

Resposta

A imagem da região é
(u,v)mid 1 <= u <= 2,;1 <= v <= 2

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