- Esboce no plano
a região delimitada pelas parábolas
e
e determine a imagem dessa região pela mudança de coordenadas
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no plano
a região que fica entre as quatro parábolas
e depois determinar como essa região se transforma ao mudar de variáveis por
O conteúdo aqui é reconhecimento de curvas de nível da transformação e mapeamento de fronteiras.
Passo 2
Vamos entender como é a região no plano
. Todas as quatro parábolas estão no primeiro quadrante:
-
e são aberturas para cima, com vértices em , uma mais “fina” que a outra; -
e são aberturas para a direita, também com vértice em .
Elas se cruzam criando uma “folha” limitada por essas quatro curvas, toda em, .
Passo 3
Na mudança de variáveis temos
Em cada fronteira original,
ou
fica constante:
- Se
então . - Se
então . - Se
então . - Se
então .
Passo 4
Portanto, a região em
é simplesmente o retângulo cujas arestas são as linhas
Ou seja,
Resposta
A imagem da região é