Determine a imagem das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a imagem da função $ f(x) = x^{2} - x - 10 $. A imagem de uma função é basicamente todos os valores que $ f(x) $ pode assumir quando a gente varia $ x $ por todos os números reais. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, especificamente sobre o vértice da parábola que representa a função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a nossa função é uma função do segundo grau, porque ela tem $ x^{2} $. A forma geral de uma função quadrática é $ f(x) = ax^{2} + bx + c $. No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -10 $.
Passo 3
Para encontrar a imagem, precisamos descobrir o valor mínimo ou máximo que a função pode alcançar. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo ($ a = 1 > 0 $), sabemos que a parábola abre para cima e, portanto, tem um mínimo.
Passo 4
O próximo passo é encontrar as coordenadas do vértice da parábola, que nos dá o ponto mínimo da função. As fórmulas para as coordenadas do vértice são:
Vamos calcular $ x_v $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ y_v $ substituindo $ x_v $ na função $ f(x) $:
Isso significa que o ponto mais baixo da nossa parábola é $ \left(\frac{1}{2}, -10,25\right) $.
Passo 6
Como a parábola abre para cima, a função $ f(x) $ pode assumir qualquer valor a partir desse mínimo. Ou seja, $ f(x) $ é maior ou igual a -10,25.
Resposta
A imagem da função $ f(x) = x^{2} - x - 10 $ é todos os números reais maiores ou iguais a
. Em forma de intervalo, fica: