Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o período e fazer um esboço do gráfico da função
. A matéria envolvida aqui é trigonometria, especificamente o estudo das funções seno. Para resolver, vamos lembrar como identificar o período de uma função trigonométrica e entender como a função
se comporta no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o período da função seno. O período é o intervalo em que a função se repete. Para a função padrão
, o período é
. Isso significa que, a cada
unidades, o gráfico do seno começa a se repetir.
Passo 3
Agora, nossa função é
. Essa expressão pode ser reescrita como
. Aqui, vemos que temos duas transformações na função seno padrão:
- Multiplicação por -1: Isso inverte o gráfico da função seno em relação ao eixo x. Então, em vez de começar subindo, ele começa descendo.
- Adição de 2: Isso desloca o gráfico inteiro para cima em 2 unidades no eixo y.
Passo 4
Apesar dessas transformações, o período da função não muda. Multiplicar a função seno por uma constante ou somar uma constante não afeta o período. Portanto, o período de
continua sendo
.
Passo 5
Agora, vamos fazer um esboço do gráfico:
- Amplitude: A amplitude do seno é 1, e como estamos multiplicando por -1, a amplitude continua sendo 1.
- Ponto médio: Devido à adição de 2, o ponto médio da função agora está em y = 2.
- Inversão: A multiplicação por -1 faz com que o gráfico inverta sua direção verticalmente.
Então, o gráfico será uma onda senoidal invertida, oscilando entre 2 - 1 = 1 e 2 + 1 = 3, com o ponto médio em y = 2.
Resposta
O período da função
é
. O gráfico é uma onda senoidal invertida, oscila entre 1 e 3, com o ponto médio em y = 2.