Resolva os itens abaixo e justifique suas respostas.
(b) Escolha um dos itens abaixo e resolva:
i) Seja
para
. Determine o valor de
tal que
5.
ii) Determine a derivada de ordem
de
.
(b) Escolha um dos itens abaixo e resolva:
i) Seja
ii) Determine a derivada de ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item (i) do exercício. O enunciado nos dá uma função racional
, onde
é um número real. A gente precisa encontrar o valor de
tal que o limite de
quando
tende ao infinito seja igual a 5. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o limite de uma função racional quando
vai para o infinito. Quando temos uma fração onde o grau do polinômio no numerador e no denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 1 em
.
Passo 3
Identificando os coeficientes dos termos de maior grau:
- No numerador, o termo de maior grau é
, então o coeficiente é . - No denominador, o termo de maior grau é
, então o coeficiente é .
Passo 4
Aplicando a regra do limite de funções racionais no infinito, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Sabemos que esse limite precisa ser igual a 5, então igualamos a expressão a 5:
Passo 7
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 25:
Passo 8
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando que
pode ser positivo ou negativo:
Resposta
Os valores de
que satisfazem o limite são
e
.