Resolva os itens abaixo e justifique suas respostas.
(b) Escolha um dos itens abaixo e resolva:
i) Seja f(x)=c x+275 c^3 x-1000 para c in R. Determine o valor de c tal que lim x +infty f(x)= 5.
ii) Determine a derivada de ordem n de f(x)=e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (i) do exercício. O enunciado nos dá uma função racional f(x) = c x + 275 c^3 x - 1000 , onde c é um número real. A gente precisa encontrar o valor de c tal que o limite de f(x) quando x tende ao infinito seja igual a 5. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o limite de uma função racional quando x vai para o infinito. Quando temos uma fração onde o grau do polinômio no numerador e no denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 1 em x .

Passo 3

Identificando os coeficientes dos termos de maior grau:
  • No numerador, o termo de maior grau é c x , então o coeficiente é c .
  • No denominador, o termo de maior grau é 5 c^3 x , então o coeficiente é 5 c^3 .

Passo 4

Aplicando a regra do limite de funções racionais no infinito, temos:
lim x +infty f(x) = coeficiente do x no numeradorcoeficiente do x no denominador = c5 c^3

Passo 5

Simplificando a expressão:
c5 c^3 = 15 c^2

Passo 6

Sabemos que esse limite precisa ser igual a 5, então igualamos a expressão a 5:
15 c^2 = 5

Passo 7

Resolvendo para c :
Multiplicando ambos os lados por 5 c^2 :
1 = 25 c^2
Dividindo ambos os lados por 25:
c^2 = 125

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando que c pode ser positivo ou negativo:
c = pm 15

Resposta

Os valores de c que satisfazem o limite são c = 15 e c = -15 .

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