Determine se T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+y, y+z), é injetiva e/ou sobrejetiva? (Dica: Use o Teorema do núcleo e da imagem),

Passo 1

O enunciado define T:R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,x+y,;y+z,)
Queremos decidir se T é injetiva e/ou sobrejetiva usando as ideias de núcleo e imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Calcular o núcleo de
Da primeira equação vem . Logo
Portanto .

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão),
dim(R^3) =dim(ker(T)) + dim(Im(T)),
isto é
3 = 1 + dim(Im(T)) ;Longrightarrow; dim(Im(T)) = 2
Como dim(ker(T))=1>0, concluímos que ker(T)neq0, logo T não é injetiva.

Passo 4

O espaço imagem de T tem dimensão
dim(Im(T))=2, que é igual a dim(R^2). Portanto
Im(T)=R^2
e T é sobrejetiva.

Resposta

T não é injetiva e é sobrejetiva.

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