Determine se
, é injetiva e/ou sobrejetiva? (Dica: Use o Teorema do núcleo e da imagem),
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos decidir se
é injetiva e/ou sobrejetiva usando as ideias de núcleo e imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Calcular o núcleo de
Da primeira equação vem . Logo
Portanto
.
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão),
isto é
Como
, concluímos que
, logo
não é injetiva.
Passo 4
O espaço imagem de
tem dimensão
, que é igual a
. Portanto
e
é sobrejetiva.