Encontre uma matriz cuja transformação associada tenha núcleo gerado por e imagem gerada por e .
Passo 1
Beleza, o que o enunciado pede? A gente precisa achar uma matriz cuja transformação linear associada
tenha núcleo (ou nullspace) gerado por , isto é ,
e imagem (ou column space) gerada por e , isto é .
O assunto aqui é Transformação Linear: núcleo, imagem, colunas de . Vamos usar que o núcleo são todos os vetores que viram zero e a imagem é o span das colunas da matriz.
Passo 2
Teoria usada:
Núcleo: .
Imagem: .
Se , então .
Se , cada coluna de deve ser combinação linear de e .
Passo 3
Chamando as colunas de de , temos duas condições-chave:
.
, pois gera o núcleo. Logo
Para simplificar a escolha, vamos pegar
Passo 4
Assim a matriz A=[,a1 a2 a3,] fica
A ;=; -2 & 0 & 2 [6pt] -1 & 1 & 1 [6pt] 0 & 2 & 0
– Se você multiplicar A por l(!1,0,1r)^top dá zero, mostrando que ker(A)=span(1,0,1).
– As colunas são combinações de (2,1,0) e (0,1,2), então Im(A)=span(2,1,0),(0,1,2).]