Encontre uma matriz 3 times 3 cuja transformação associada tenha núcleo gerado por (1,0,1) e imagem gerada por (2,1,0) e (0,1,2).

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede? A gente precisa achar uma matriz 3times3 cuja transformação linear associada
  • tenha núcleo (ou nullspace) gerado por (1,0,1), isto é ker(A)=span(1,0,1),
  • e imagem (ou column space) gerada por (2,1,0) e (0,1,2), isto é Im(A)=span(2,1,0),(0,1,2).
    O assunto aqui é Transformação Linear: núcleo, imagem, colunas de A. Vamos usar que o núcleo são todos os vetores que viram zero e a imagem é o span das colunas da matriz.

Passo 2

Teoria usada:
  1. Núcleo: ker(A)=,xinR^3mid A,x=0.
  2. Imagem: Im(A)=spancolunas de A.
  3. Se ker(A)=spanv, então A,v=0.
  4. Se Im(A)=spanw1,w2, cada coluna de A deve ser combinação linear de w1 e w2.

Passo 3

Chamando as colunas de A de a1,a2,a3, temos duas condições-chave:
  1. a1,a2,a3inspan(2,1,0),(0,1,2).
  2. A,(1,0,1)^top = a1 + a3 = 0, pois (1,0,1) gera o núcleo. Logo
a1 = -,a3
Para simplificar a escolha, vamos pegar
a3 = 210, a2 = 012, a1 = -,a3 = -2-10

Passo 4

Assim a matriz A=[,a1 a2 a3,] fica
A ;=; -2 & 0 & 2 [6pt] -1 & 1 & 1 [6pt] 0 & 2 & 0
– Se você multiplicar A por l(!1,0,1r)^top dá zero, mostrando que ker(A)=span(1,0,1).
– As colunas são combinações de (2,1,0) e (0,1,2), então Im(A)=span(2,1,0),(0,1,2).]

Resposta

boxed A = -2 & 0 & 2 [4pt] -1 & 1 & 1 [4pt] 0 & 2 & 0
]

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