Determine a projeção ortogonal de um vetor (x, y, z) sobre o plano z=0 em R^3. Descreva seu núcleo e sua imagem.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de (x,y,z)inR^3 no plano z=0. O conteúdo envolve projeção ortogonal em espaços vetoriais, usando decomposição em componente paralela ao plano e componente perpendicular a ele. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção ortogonal em termos de um vetor normal ao plano.

Passo 2

O plano z=0 pode ser visto como o subespaço de R^3 com vetor normal
n=(0,0,1)
A projeção ortogonal de um vetor v num subespaço descrito por n é dada por
P(v)=v-vcdot nncdot n,n

Passo 3

Aplicando a fórmula a v=(x,y,z) e n=(0,0,1), obtemos
vcdot n = z, ncdot n = 1,
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P(x,y,z) =(x,y,z)-z1(0,0,1) =(x,y,0)

Passo 4

Para encontrar o núcleo de P, resolvemos
P(x,y,z)=(0,0,0) Long<=ftrightarrow (x,y,0)=(0,0,0),
o que força x=0 e y=0, enquanto z é livre. Assim
ker P =(0,0,z):zinR =span(0,0,1)

Passo 5

A imagem de P é o conjunto de todos os vetores que aparecem como P(x,y,z). Como
P(x,y,z)=(x,y,0)
varia livremente em x e y, temos
ImP =(x,y,0):x,yinR,
que é exatamente o plano z=0.

Resposta

A projeção ortogonal é
P(x,y,z)=(x,y,0)
O núcleo é
ker P=(0,0,z):zinR=span(0,0,1),
e a imagem é
ImP=(x,y,0):x,yinR,
isto é, o próprio plano z=0.

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