Determine a projeção ortogonal de um vetor
sobre o plano
em
. Descreva seu núcleo e sua imagem.
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de
no plano
. O conteúdo envolve projeção ortogonal em espaços vetoriais, usando decomposição em componente paralela ao plano e componente perpendicular a ele. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção ortogonal em termos de um vetor normal ao plano.
Passo 2
O plano
pode ser visto como o subespaço de
com vetor normal
A projeção ortogonal de um vetor
num subespaço descrito por
é dada por
Passo 3
Aplicando a fórmula a
e
, obtemos
logo
Passo 4
Para encontrar o núcleo de
, resolvemos
o que força
e
, enquanto
é livre. Assim
Passo 5
A imagem de
é o conjunto de todos os vetores que aparecem como
. Como
varia livremente em
e
, temos
que é exatamente o plano
.
Resposta
A projeção ortogonal é
O núcleo é
e a imagem é
isto é, o próprio plano
.