Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=7-x^2, x=-2, x=2; em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região limitada pelas curvas y = 7 - x^2 , x = -2 e x = 2 é girada em torno do eixo x . Vamos usar o método dos discos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. A curva y = 7 - x^2 é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0, 7) . As linhas verticais x = -2 e x = 2 vão cortar essa parábola, delimitando a região que vamos girar.

Passo 3

O método dos discos consiste em cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, o eixo x ). Cada fatia gera um disco cujo volume podemos calcular e, depois, somar todos esses volumes através de uma integral.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) é a função que define a fronteira superior da região, e a e b são os limites de integração, que são -2 e 2 no nosso caso.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso problema, temos f(x) = 7 - x^2 . Então, a integral fica:
V = pi integral-2^2 (7 - x^2)^2 , dx

Passo 6

Vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
(7 - x^2)^2 = 49 - 14x^2 + x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral-2^2 (49 - 14x^2 + x^4) , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral-2^2 49 , dx = 49x |-2^2 = 49(2) - 49(-2) = 196
integral-2^2 -14x^2 , dx = -14 cdot x^33 |-2^2 = -14 ( 83 - -83 ) = -14 cdot 163 = -2243
integral-2^2 x^4 , dx = x^55 |-2^2 = 325 - -325 = 645

Passo 8

Somando tudo:
V = pi ( 196 - 2243 + 645 )
Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
196 = 196 times 1515 = 294015
-2243 = -224 times 515 = -112015
645 = 64 times 315 = 19215
Então:
V = pi ( 2940 - 1120 + 19215 ) = pi ( 201215 )

Passo 9

Simplificando:
V = 201215 pi
Aproximando o valor numérico (usando pi approx 3,1416 ):
V approx 201215 times 3,1416 approx 421 , unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido é 201215 pi unidades cúbicas, aproximadamente 421 unidades cúbicas.

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