Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. ; em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Vamos usar o método dos discos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. A curva é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto . As linhas verticais e vão cortar essa parábola, delimitando a região que vamos girar.
Passo 3
O método dos discos consiste em cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, o eixo ). Cada fatia gera um disco cujo volume podemos calcular e, depois, somar todos esses volumes através de uma integral.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, é a função que define a fronteira superior da região, e e são os limites de integração, que são e no nosso caso.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso problema, temos . Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos expandir o integrando para facilitar a integração: