Seja f(x, y)=1x^2+y^2. Verifique que
partial^2 fpartial x^2+y partial^2 fpartial y^2=4(x^2+y^2)^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=1x^2+y^2
e pede para mostrar que a soma das segundas derivadas em x e em y é
partial^2 fpartial x^2 ;+;partial^2 fpartial y^2 =4(x^2+y^2)^2
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e uso de simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em x. Usando a regra da cadeia em
f(x,y)=(x^2+y^2)^-1,
temos
partial fpartial x =-1cdot (x^2+y^2)^-2cdot 2x =-2x,(x^2+y^2)^-2
Agora aplicamos derivada em x novamente para achar partial^2 f/partial x^2. De
partial fpartial x=-2x,(x^2+y^2)^-2,
vem
partial^2 fpartial x^2 =-2,(x^2+y^2)^-2 ;+;-2xcdotl(-2r)(x^2+y^2)^-3cdot 2x =-2,(x^2+y^2)^-2+8x^2,(x^2+y^2)^-3

Passo 3

De modo análogo, a derivada parcial de primeira ordem em y é
partial fpartial y =-2y,(x^2+y^2)^-2,
e derivando de novo em y obtemos
partial^2 fpartial y^2 =-2,(x^2+y^2)^-2 ;+;8y^2,(x^2+y^2)^-3

Passo 4

Somando partial^2 f/partial x^2 e partial^2 f/partial y^2, temos
partial^2 fpartial x^2 +partial^2 fpartial y^2 =l[-2,(x^2+y^2)^-2+8x^2,(x^2+y^2)^-3r] +l[-2,(x^2+y^2)^-2+8y^2,(x^2+y^2)^-3r]
Agrupando termos semelhantes,
=-4,(x^2+y^2)^-2 ;+;8(x^2+y^2),(x^2+y^2)^-3 =l[-4(x^2+y^2)+8(x^2+y^2)r](x^2+y^2)^-3 =4,(x^2+y^2)^-2

Resposta

partial^2 fpartial x^2 +partial^2 fpartial y^2 =4(x^2+y^2)^2

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