Determine
\int_{0}^{2} f(x, y) d y e \int_{0}^{1} f(x, y) d x.
f(x, y)=x e^{x+y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x e^{x+y} e pede duas integrais simples: \displaystyle \int_{0}^{2}f(x,y)\,dy e \displaystyle \int_{0}^{1}f(x,y)\,dx.
O conteúdo é integração de funções de duas variáveis tratando uma como parâmetro. Vamos usar a integração de exponenciais e, no caso em x, aplicação de integração por partes.

Passo 2

Para \displaystyle \int_{0}^{2}f(x,y)\,dy consideramos x constante: \displaystyle \int_{0}^{2}x e^{x+y}\,dy = x e^x\int_{0}^{2}e^y\,dy = x e^x\bigl[e^y\bigr]_{0}^{2} = x e^x\,(e^2 - 1).

Passo 3

Para \displaystyle \int_{0}^{1}f(x,y)\,dx consideramos y constante e fatoramos e^y: \displaystyle \int_{0}^{1}x e^{x+y}\,dx = e^y\int_{0}^{1}x e^x\,dx.
Aplicando integração por partes em \int x e^x\,dx com u=x, dv=e^x\,dx, obtemos \displaystyle \int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x = (x-1)e^x.
Avaliando de 0 a 1: \displaystyle \bigl[(x-1)e^x\bigr]_{0}^{1} = (1-1)e^1 - (0-1)e^0 = 0 - (-1) = 1.
Logo, \displaystyle \int_{0}^{1}f(x,y)\,dx = e^y \cdot 1 = e^y.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{2}f(x,y)\,dy = x e^x\,(e^2 - 1) \displaystyle \int_{0}^{1}f(x,y)\,dx = e^y

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