Determine o valor médio de f(x, y)=x sen x y acima do retângulo R=[0, \pi / 2] \times[0,1].
  1. 4 x^{2}, \frac{1}{3} y^{3}
  2. 4 x-6 x^{2}, y-1
  3. x e^{x}\left(e^{2}-1\right), e^{y}
  4. x \operatorname{tg}^{-1} 2, \frac{1}{2\left(y^{2}+1\right)}
  5. \frac{32}{3}
  6. e^{2}-e^{-1}-1+e^{-3}
  7. 0
  8. \frac{88}{15}
  9. 3\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
  10. 1
  11. \frac{4}{15}(31-9 \sqrt{3}
  12. \frac{4}{15}(31-9 \sqrt{3})
  13. 2
  14. -\frac{585}{8}
  15. \frac{5}{6}+\ln \sqrt{\frac{2}{3}}
  16. \frac{15(2-\sqrt{3})}{4}
  17. \frac{9}{2} \ln 2
  18. 2
  19. e-2
  20. \ln \frac{27}{16}
  21. \frac{75}{2}
  22. 104
  23. 16
  24. 1-\frac{2}{\pi}

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x,y)=x\sin(xy) sobre o retângulo R=[0,\tfrac\pi2]\times[0,1]. O conteúdo aqui é “valor médio de uma função de duas variáveis” e vamos usar a fórmula
\text{valor médio}=\frac{1}{\text{área}(R)}\iint_{R}f(x,y)\,dA.éá

Passo 2

Primeiro calculamos a área de R, que é
\text{área}(R)=\Bigl(\frac\pi2-0\Bigr)\times(1-0)=\frac\pi2.á
Logo o valor médio vale
\frac{1}{\frac\pi2}\int_{x=0}^{\frac\pi2}\int_{y=0}^{1}x\sin(xy)\,dy\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac\pi2}\Bigl[\int_{0}^{1}x\sin(xy)\,dy\Bigr]dx.

Passo 3

Para a integral interna em y, fazemos a substituição
u=xy,\quad du=x\,dy\quad\Longrightarrow\quad dy=\frac{du}{x},
com u(0)=0 e u(1)=x. Assim
\int_{0}^{1}x\sin(xy)\,dy =\int_{u=0}^{x}x\sin(u)\,\frac{du}{x} =\int_{0}^{x}\sin u\,du =\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{x} =1-\cos x.

Passo 4

Substituindo na integral em x, temos
\int_{0}^{\frac\pi2}(1-\cos x)\,dx =\bigl[x-\sin x\bigr]_{0}^{\frac\pi2} =\Bigl(\frac\pi2-1\Bigr)-0 =\frac\pi2-1.
Logo a integral dupla vale \tfrac\pi2-1.

Passo 5

Finalmente, o valor médio é
\frac{2}{\pi}\Bigl(\frac\pi2-1\Bigr) =1-\frac{2}{\pi}.

Resposta

1-\frac{2}{\pi}

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