{ }^{\star} Resolva as inequações:
\frac{3}{x+2}-\frac{6+x}{6+3 x}>\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3}{x+2}-\frac{6+x}{6+3x}>\frac{1}{2}.
O conteúdo aqui é manipulação de frações racionais e estudo de sinais. Repare que os denominadores são x+2 e 6+3x=3(x+2), logo o domínio exige
x\neq -2.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a segunda fração:
\frac{6+x}{6+3x} =\frac{x+6}{3(x+2)}.
Então
\frac{3}{x+2}-\frac{6+x}{6+3x} =\frac{3}{x+2}-\frac{x+6}{3(x+2)} =\frac{9-(x+6)}{3(x+2)} =\frac{3-x}{3(x+2)}.

Passo 3

Substituindo na inequação, fica
\frac{3-x}{3(x+2)}>\frac{1}{2}.
Passamos tudo para um único lado, com denominador comum 6(x+2):
\frac{2(3-x)-3(x+2)}{6(x+2)}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-5x}{6(x+2)}>0.

Passo 4

Como -5/6<0, multiplicar ambos os lados por -6/5 inverte o sentido da desigualdade, resultando em
\frac{x}{x+2}<0.

Passo 5

Para \frac{x}{x+2}<0 a fração deve ser negativa, ou seja, numerador e denominador têm sinais opostos. Isso só acontece quando
x<0 \quad\text{e}\quad x+2>0
o que dá
-2<x<0.

Resposta

(-2,0)

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