{ }^{\star} Resolva as inequações:
\frac{5}{2 x-1}-\frac{3}{4 x-2}>2

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\frac{5}{2x-1} \;-\;\frac{3}{4x-2} \;>\;2.
O conteúdo é manipular frações em x: precisamos achar o domínio, juntar as frações, simplificar e estudar o sinal do resultado.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que nenhum denominador seja zero:
2x-1 \neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq \tfrac12,
4x-2 \neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq \tfrac12.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\tfrac12\}.

Passo 3

Observamos que 4x-2=2(2x-1), então
\frac{3}{4x-2} \;=\;\frac{3}{2(2x-1)} \;=\;\frac{3/2}{2x-1}.
Assim
\frac{5}{2x-1} \;-\;\frac{3}{4x-2} =\frac{5}{2x-1} \;-\;\frac{3/2}{2x-1} =\frac{5-\frac32}{2x-1} =\frac{\tfrac72}{2x-1}.

Passo 4

A inequação fica
\frac{\tfrac72}{2x-1} > 2.
Multiplicando ambos os lados por 2 (positivo),
\frac{7}{2x-1} > 4.
Agora separamos dois casos:
  1. Suponha 2x-1>0 (isto é, x>\tfrac12). Multiplicando sem inverter o sinal:
    7 > 4(2x-1) \;\Longrightarrow\; 7 > 8x-4 \;\Longrightarrow\; 11 > 8x \;\Longrightarrow\; x < \tfrac{11}{8}.
    Combinando com x>\tfrac12, obtemos
    \tfrac12 < x < \tfrac{11}{8}.
  2. Suponha 2x-1<0 (isto é, x<\tfrac12). Multiplicando inverte o sinal:
    7 < 4(2x-1) \;\Longrightarrow\; 7 < 8x-4 \;\Longrightarrow\; 11 < 8x \;\Longrightarrow\; x > \tfrac{11}{8}.
    Isso não tem interseção com x<\tfrac12, logo sem solução nesse caso.

Resposta

\frac12 < x < \frac{11}{8}.

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