Determine
onde
é orientada no sentido anti-horário.
, onde
é borda do quadrado com vértices
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
ao longo da fronteira
do quadrado com vértices
,
,
,
, orientada no sentido anti-horário, em que
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que transforma um integral de linha fechado num integral duplo sobre a região interna.
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Green precisamos que
e
tenham derivadas parciais contínuas no interior do quadrado. Como
e
são funções suaves em
, podemos escrever
onde
é o quadrado
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Logo o integrando do teorema de Green é
Passo 4
Montamos a integral dupla sobre
:
Como o integrando não depende de
, o inner integral simplesmente multiplica por
, ficando
Passo 5
É só calcular:
Portanto