Determine \int_{\gamma} M(x, y) d x+N(x, y) d y onde \gamma é orientada no sentido anti-horário.
\int_{\gamma} x y d x+\left(x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}\right) d y, onde \gamma \quad é borda do quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
\int_{\gamma} M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy
ao longo da fronteira \gamma do quadrado com vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), orientada no sentido anti-horário, em que
M(x,y)=x\,y \quad\text{e}\quad N(x,y)=x^{\tfrac32}+y^{\tfrac32}.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que transforma um integral de linha fechado num integral duplo sobre a região interna.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Green precisamos que M e N tenham derivadas parciais contínuas no interior do quadrado. Como x\,y e x^{3/2}+y^{3/2} são funções suaves em [0,1]\times[0,1], podemos escrever
\int_{\gamma} M\,dx + N\,dy = \iint_{D}\bigl(\partial_x N - \partial_y M\bigr)\,dA,
onde D é o quadrado \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
\partial_x N = \partial_x\bigl(x^{\tfrac32}+y^{\tfrac32}\bigr) = \tfrac32\,x^{\tfrac12},
\partial_y M = \partial_y\bigl(x\,y\bigr) = x.
Logo o integrando do teorema de Green é
\partial_x N - \partial_y M = \tfrac32\,x^{\tfrac12} - x.

Passo 4

Montamos a integral dupla sobre D:
\iint_{D}\bigl(\tfrac32\,x^{\tfrac12} - x\bigr)\,dA = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(\tfrac32\,x^{\tfrac12} - x\bigr)\,dy\,dx.
Como o integrando não depende de y, o inner integral simplesmente multiplica por \displaystyle\int_0^1 dy=1, ficando
\int_{0}^{1}\bigl(\tfrac32\,x^{\tfrac12} - x\bigr)\,dx.

Passo 5

É só calcular:
\int_{0}^{1}\tfrac32\,x^{\tfrac12}\,dx = \tfrac32\cdot\frac{2}{3}x^{\tfrac32}\Big|_{0}^{1} = 1,
\int_{0}^{1}x\,dx = \tfrac12\,x^2\Big|_{0}^{1} = \tfrac12.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(\tfrac32\,x^{\tfrac12} - x\bigr)\,dx = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

Exercícios relacionados