Determine \int_{\gamma} M(x, y) d x+N(x, y) d y onde \gamma é orientada no sentido anti-horário.
\int_{\gamma} y d x, onde \gamma a curva no primeiro quadrante formada por parte do círculo x^{2}+y^{2}=4 e dos intervalos [0,2] nos eixos x e y.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\oint_{\gamma}y\,dx
onde \gamma é o contorno orientado no sentido anti-horário da região R no primeiro quadrante limitada pelos eixos x e y de 0 a 2 e pelo arco de círculo x^{2}+y^{2}=4. Vamos usar o Teorema de Green para transformá-lo numa integral dupla sobre R.

Passo 2

No Teorema de Green temos, para P(x,y)=y e Q(x,y)=0,
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA.
Aqui \frac{\partial Q}{\partial x}=0 e \frac{\partial P}{\partial y}=1.

Passo 3

Substituindo no Teorema de Green vem
\oint_{\gamma}y\,dx =\iint_{R}(0-1)\,dA =-\iint_{R}1\,dA =-\operatorname{Área}(R).Á

Passo 4

A região R é um quarto de disco de raio 2. Logo
\operatorname{Área}(R) =\frac{1}{4}\,\pi\cdot2^{2} =\pi.Á

Resposta

\oint_{\gamma}y\,dx=-\pi.

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