Teste a série quanto à convergência ou divergência.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{\sqrt{n})!}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,n^{2}}{\sqrt{n!}}.
O conteúdo principal aqui são testes de convergência de séries, em especial o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Consideramos a série de termos positivos
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \quad\text{com}\quad a_{n} = \frac{n^{2}}{\sqrt{n!}}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 3

Escrevendo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\;(n+1)^{2}/\sqrt{(n+1)!}\;}{\;n^{2}/\sqrt{n!}\;} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\cdot\;\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{(n+1)!}} = \Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{2}\;\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
Tomando o limite:
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{2}\;\frac{1}{\sqrt{n+1}} = 1\cdot 0 = 0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que \sum a_{n} converge. Logo, a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

Converge absolutamente.

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