Use o teorema de Green para calcular a integral de linha. Assuma que cada curva é orientada no sentido anti-horário.
\int_{\gamma} e^{x} \sin y d x+e^{x} \cos y d y onde \gamma é composta de parte do gráfico de \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 e dos intervalos [0,25] nos eixos x e y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\gamma} e^{x}\sin y\,dx + e^{x}\cos y\,dy
onde \gamma é a curva fechada que vai do ponto (0,0) ao (25,0) pelo eixo x, depois de (25,0) a (0,25) pela arco definido por \sqrt{x}+\sqrt{y}=5, e finalmente de (0,25) a (0,0) pelo eixo y, tudo orientado anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região D interna a \gamma.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^{x}\sin y, \quad Q(x,y)=e^{x}\cos y.
Pelo Teorema de Green,
\int_{\gamma}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) = e^{x}\cos y,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) = e^{x}\cos y.
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = e^{x}\cos y - e^{x}\cos y = 0.

Passo 4

Como o integrando da integral dupla é zero em toda a região D, temos
\iint_{D}0\,dA = 0.
Pelo Teorema de Green, a integral de linha também vale zero.

Resposta

0

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