Determine \int_{\gamma} M(x, y) d x+N(x, y) d y onde \gamma é orientada no sentido anti-horário.
\int_{\gamma}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} d x+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} d y, onde \gamma é o círculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\displaystyle \int_{\gamma}M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy
ao longo do círculo \gamma\colon x^{2}+y^{2}=1 orientado no sentido anti-horário, onde
M(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}, \qquad N(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}.
Vamos usar parametrização de curvas para resolver.

Passo 2

Parametrizamos o círculo por
\gamma(t)=(\cos t,\sin t), \quad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-\sin t\,dt, \qquad dy=\cos t\,dt.

Passo 3

Sobre \gamma vale x^{2}+y^{2}=1, logo
(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}=1.
O integrando fica
M\,dx+N\,dy =1\cdot(-\sin t\,dt)+1\cdot(\cos t\,dt) =(-\sin t+\cos t)\,dt.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{2\pi}(-\sin t+\cos t)\,dt =\bigl[\cos t+\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} =(1+0)-(1+0)=0.

Resposta

0

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