Use o teorema de Green para calcular a integral de linha. Assuma que cada curva é orientada no sentido anti-horário.
\int_{\gamma} x y d x+\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y\right) d y onde \gamma é composta do intervalo [-1,1] sobre o eixo x e a parte de cima da elipse x^{2}+4 y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} x\,y\,dx + \Bigl(\tfrac12 x^2 + x\,y\Bigr)\,dy
onde \gamma é o contorno orientado no sentido anti-horário composto pelo intervalo [-1,1] no eixo x (reta de (-1,0) a (1,0)) e pela parte superior da elipse
x^2 + 4y^2 = 1.
O conteúdo é o Teorema de Green, que converte \displaystyle\oint P\,dx + Q\,dy em \iint_D\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA, sobre a região D interna a \gamma.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x\,y,\qquad Q(x,y)=\tfrac12 x^2 + x\,y.
Calculamos as derivadas parciais:
\tfrac{\partial Q}{\partial x} = x + y, \qquad \tfrac{\partial P}{\partial y} = x.
Logo o integrando de Green é
\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y} = (x+y) - x = y.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D} y\,dA,
em que
D = \bigl\{(x,y)\mid x^2+4y^2\le1,\;y\ge0\bigr\}
é a meia-elipse superior.

Passo 4

Para avaliar \displaystyle\iint_{D}y\,dA, fazemos a mudança de variáveis
u=x,\quad v=2y
que envia D na meia-fase superior do disco unitário E=\{u^2+v^2\le1,\,v\ge0\}. Nessa troca temos
y=\frac v2, \qquad dA = \bigl|\det J\bigr|\,du\,dv = \frac12\,du\,dv.
Portanto
\iint_{D}y\,dA = \iint_{E}\frac v2\cdot\frac12\,du\,dv = \frac14\iint_{E}v\,du\,dv.
Em coordenadas polares (u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta) sobre 0\le r\le1, 0\le\theta\le\pi, temos
\iint_{E}v\,du\,dv = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}(r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^2\,dr = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Assim
\iint_{D}y\,dA = \frac14\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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