Teste a série quanto à convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos usar o Critério do Termo Geral (ou Teste da Divergência), que diz que se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
Para aplicar o critério, calculamos o limite de a_{n} quando n\to\infty.

Passo 3

Vamos escrever
a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{2}+1} = 1 - \frac{1}{n^{2}+1},
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\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{n^{2}+1}\Bigr) = 1 - 0 = 1.

Passo 4

Pelo Critério do Termo Geral, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, então a série \sum a_{n} diverge. Aqui temos \lim a_{n}=1\neq 0, portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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