Verifique se a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.\n\vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), t \geq 0
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
,
.
Queremos verificar se ela está parametrizada pelo comprimento de arco, isto é, se o parâmetro mede exatamente a distância percorrida na curva. Para isso, vamos calcular a velocidade
e checar se é constante igual a 1.
Queremos verificar se ela está parametrizada pelo comprimento de arco, isto é, se o parâmetro
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Passo 3
Agora avaliamos o módulo da velocidade:
Passo 4
Como
para todo
, a distância percorrida de
até um dado
é exatamente
Ou seja, o parâmetro
coincide com o comprimento de arco
.
Resposta
Sim. A curva está parametrizada pelo comprimento de arco, pois
para todo
.