Verifique se a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.\n\vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), t \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \vec{r}(t) = (\cos t, \sin t), t\ge 0.
Queremos verificar se ela está parametrizada pelo comprimento de arco, isto é, se o parâmetro t mede exatamente a distância percorrida na curva. Para isso, vamos calcular a velocidade \|\vec{r}'(t)\| e checar se é constante igual a 1.

Passo 2

Calculamos a derivada de \vec{r}(t):
\vec{r}'(t) = (-\sin t,\;\cos t).

Passo 3

Agora avaliamos o módulo da velocidade:
\|\vec{r}'(t)\| =\sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} =\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} =1.

Passo 4

Como \|\vec{r}'(t)\|=1 para todo t\ge0, a distância percorrida de t=0 até um dado t é exatamente
s(t)=\int_{0}^{t} \|\vec{r}'(u)\|\,du = \int_{0}^{t}1\,du = t.
Ou seja, o parâmetro t coincide com o comprimento de arco s.

Resposta

Sim. A curva está parametrizada pelo comprimento de arco, pois \|\vec{r}'(t)\|=1 para todo t\ge0.

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