Determine:
\int_{0}^{5}\left(y+x e^{y}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral em relação a x de
y + x e^{y}
no intervalo de x=0 até x=5. O parâmetro y é tratado como constante nessa integração. Vamos usar a linearidade da integral e a regra de integração de potências.

Passo 2

Usando a propriedade da integral de soma, separamos
\int_{0}^{5}\bigl(y + x e^{y}\bigr)\,dx = \int_{0}^{5}y\,dx + \int_{0}^{5}x e^{y}\,dx.

Passo 3

Na primeira parcela, y é constante, portanto
\int_{0}^{5}y\,dx = y \int_{0}^{5}1\,dx = y\bigl[x\bigr]_{0}^{5} = y\,(5-0) = 5y.

Passo 4

Na segunda parcela, e^{y} também é constante em relação a x, então
\int_{0}^{5}x e^{y}\,dx = e^{y}\int_{0}^{5}x\,dx = e^{y}\,\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{5} = e^{y}\,\frac{5^{2}}{2} = \frac{25}{2}\,e^{y}.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
5y + \frac{25}{2}e^{y}.

Resposta

\int_{0}^{5}\bigl(y + x e^{y}\bigr)\,dx = 5y + \frac{25}{2}e^{y}.

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