Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede o esboço do sólido cujo volume é dado por
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\bigl(4 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Isso significa que estamos olhando para a região em (x,y,z) tal que
0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 e
0 \le z \le 4 - x^{2} - y^{2}.
O conteúdo é interpretação geométrica de integrais duplas e superfície de paraboloide.

Passo 2

Identificamos a projeção do sólido no plano xy: é o quadrado
Q = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 1\}.
No esboço, desenhe esse quadrado no plano z=0 com vértices
(0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).

Passo 3

A face superior do sólido é a porção do paraboloide
z = 4 - x^{2} - y^{2}
acima de Q. Em cada aresta de Q a “tampa” segue curvas:
  • Para y=0: z = 4 - x^{2}.
  • Para x=0: z = 4 - y^{2}.
  • Para x=1: z = 3 - y^{2}.
  • Para y=1: z = 3 - x^{2}.

Passo 4

Esboço do sólido:
  1. Desenhe os três eixos x, y e z, com o plano xy como base.
  2. No plano xy, marque o quadrado Q.
  3. Sobre Q, desenhe a tampa curva do paraboloide, passando pelos pontos
    (0,0,4), (1,0,3), (1,1,2), (0,1,3).
  4. Ligue verticalmente cada aresta de Q à correspondente curva na tampa, formando faces laterais planas.

Resposta

O sólido é a região limitada inferiormente pelo plano z=0, lateralmente pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1 e superiormente pelo paraboloide
z = 4 - x^{2} - y^{2},
sobre o quadrado \{(x,y)\mid0\le x\le1,\,0\le y\le1\}.

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