Seja
f(x)=\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}
Encontre:
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas.
c) Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d) Concavidade e ponto de inflexão.
e) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a curva da função
f(x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}
e obter:
a) domínio e simetria;
b) assíntotas;
c) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
d) concavidade e pontos de inflexão;
e) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar propriedades de funções racionais, cálculo de derivadas primeira e segunda, além de limites.

Passo 2

Domínio é dado por x^{2}-1\neq0, ou seja
\text{Dom}(f)=(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,1)\,\cup\,(1,\infty).
Para ver simetria calculamos
f(-x)=\frac{2(-x)^{2}}{(-x)^{2}-1}=\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}=f(x),
logo f é função par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 3

Assíntotas verticais vêm das raízes do denominador:
x=\pm1.
Para a assíntota horizontal calculamos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^{2}}{x^{2}-1} =2.
Portanto há a reta
y=2
como assíntota horizontal.

Passo 4

Derivada primeira:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}\Bigr) =-\frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}.
As críticas são x=0 (onde f'=0) e as indefinições x=\pm1. Como (x^{2}-1)^{2}>0 todo x\neq\pm1, o sinal de f' é o contrário do sinal de x. Logo
- em (-\infty,-1) e (-1,0): x<0 f'>0 ⇒ crescente;
- em (0,1) e (1,\infty): x>0 f'<0 ⇒ decrescente.
Em x=0 a função cresce à esquerda e decresce à direita, dando um máximo local em
f(0)=0.

Passo 5

Derivada segunda:
f''(x) =\frac{4\,(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Como 3x^{2}+1>0 sempre, o sinal de f'' vem de (x^{2}-1)^{3}:
- para |x|>1: denomínio positivo ⇒ f''>0 ⇒ concavidade para cima;
- para |x|<1: denomínio negativo ⇒ f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão em que f''=0 dentro do domínio, pois a mudança de concavidade ocorre em x=\pm1 (fora do domínio).

Passo 6

Esboço do gráfico (função par):
  • Para x\to\pm1 a curva vai a \pm\infty (assíntotas verticais).
  • Em (-\infty,-1) e (1,\infty) a curva está acima de zero, decresce (por f'<0 em x>1) ou cresce (em x<-1), e é concava para cima, aproximando-se de y=2.
  • Em (-1,1) a curva é única parte que cruza o eixo em (0,0), tem máximo local em 0, é decrescente para x>0 e crescente para x<0, concava para baixo e tende a -\infty ao se aproximar de x=\pm1.

Resposta

a) Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty). Função par (simétrica em y).
b) Assíntotas verticais x=\pm1; assíntota horizontal y=2.
c) Crescente em (-\infty,-1) e (-1,0); decrescente em (0,1) e (1,\infty). Máximo local em (0,0).
d) Concava para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); concava para baixo em (-1,1). Sem ponto de inflexão.
e) Gráfico conforme descrição do passo 6: assíntotas em x=\pm1, y=2; máximo em (0,0); simetria par.

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