Seja
Encontre:
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas.
c) Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d) Concavidade e ponto de inflexão.
e) Esboce o gráfico.
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas.
c) Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d) Concavidade e ponto de inflexão.
e) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a curva da função
e obter:
a) domínio e simetria;
b) assíntotas;
c) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
d) concavidade e pontos de inflexão;
e) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar propriedades de funções racionais, cálculo de derivadas primeira e segunda, além de limites.
a) domínio e simetria;
b) assíntotas;
c) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
d) concavidade e pontos de inflexão;
e) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar propriedades de funções racionais, cálculo de derivadas primeira e segunda, além de limites.
Passo 2
Domínio é dado por
, ou seja
Para ver simetria calculamos
logo
é função par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 3
Assíntotas verticais vêm das raízes do denominador:
Para a assíntota horizontal calculamos
Portanto há a reta
como assíntota horizontal.
Passo 4
Derivada primeira:
As críticas são
(onde
) e as indefinições
. Como
todo
, o sinal de
é o contrário do sinal de
. Logo
- em e
:
⇒
⇒ crescente;
- em e
:
⇒
⇒ decrescente.
Em a função cresce à esquerda e decresce à direita, dando um máximo local em
- em
- em
Em
Passo 5
Derivada segunda:
Como
sempre, o sinal de
vem de
:
- para : denomínio positivo ⇒
⇒ concavidade para cima;
- para : denomínio negativo ⇒
⇒ concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão em que dentro do domínio, pois a mudança de concavidade ocorre em
(fora do domínio).
- para
- para
Não há pontos de inflexão em que
Passo 6
Esboço do gráfico (função par):
- Para
a curva vai a (assíntotas verticais). - Em
e a curva está acima de zero, decresce (por em ) ou cresce (em ), e é concava para cima, aproximando-se de . - Em
a curva é única parte que cruza o eixo em , tem máximo local em , é decrescente para e crescente para , concava para baixo e tende a ao se aproximar de .
Resposta
a) Domínio:
. Função par (simétrica em
).
b) Assíntotas verticais ; assíntota horizontal
.
c) Crescente em e
; decrescente em
e
. Máximo local em
.
d) Concava para cima em ; concava para baixo em
. Sem ponto de inflexão.
e) Gráfico conforme descrição do passo 6: assíntotas em ,
; máximo em
; simetria par.
b) Assíntotas verticais
c) Crescente em
d) Concava para cima em
e) Gráfico conforme descrição do passo 6: assíntotas em