Encontre a integral das seguintes funções sobre as regiões S do R^{3} indicadas:
f(x, y, z)=1, S é o sólido limitado pelos 3 planos coordenados, pela superfície z=x^{2}+y^{2} e pelo plano $x+y=1.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla de f(x,y,z)=1 sobre o sólido S limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0, pela superfície paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano vertical x+y=1. O conteúdo é integral tripla e usaremos projeção da região no plano xy.

Passo 2

Para descrever S como uma integral iterada, projetamos S no plano xy. Essa projeção é a região
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\},
e para cada (x,y)\in D, z varia de 0 até x^2+y^2.

Passo 3

Montamos a integral tripla como
\iiint_{S}1\,dV =\iint_{D}\Bigl(\int_{0}^{x^2+y^2}dz\Bigr)\,dA =\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA.

Passo 4

Expressamos \iint_{D}(x^2+y^2)\,dA em coordenadas cartesianas: x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 a 1-x. Logo,
\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(x^2+y^2)\,dy\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{1-x}(x^2+y^2)\,dy = x^2(1-x)+\frac{(1-x)^3}{3}.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\Bigl[x^2(1-x)+\tfrac{(1-x)^3}{3}\Bigr]dx =\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{1}{3}-x+2x^2-\tfrac{4}{3}x^3\Bigr)dx =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Exercícios relacionados