Questão 6

Para a função abaixo, com domínio real,
f(x)=-3+2^{-x}
(a) faça um esboço do gráfico,
(b) determine sua imagem,
(c) determine o valor x, tal que f(x)=10.
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Expectativa de Resposta:
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Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=-3+2^{-x}
com domínio \mathbb{R}. Precisamos:
– (a) fazer um esboço do gráfico;
– (b) determinar a imagem;
– (c) achar x tal que f(x)=10.
Vamos usar propriedades de funções exponenciais, transformações de gráficos e logaritmos.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, note que f(x) é obtida a partir de g(x)=2^x por duas transformações:
  1. reflexão horizontal (porque trocamos x por -x), produzindo 2^{-x},
  2. deslocamento vertical de 3 unidades para baixo, somando -3.
    Assim:
    \lim_{x\to+\infty}2^{-x}=0 implica \lim_{x\to+\infty}f(x)=-3 (assíntota horizontal em y=-3),
    \lim_{x\to-\infty}2^{-x}=+\infty implica f(x)\to+\infty à esquerda.
    Pontos-chave para desenhar:
    f(0)=-3+1=-2,
    f(1)=-3+\tfrac12=-2,5,
    f(-1)=-3+2=-1.
    Desenhe uma curva decrescente passando por esses pontos e se aproximando de y=-3 quando x\to+\infty.

Passo 3

Para a imagem, observe que 2^{-x}>0 para todo x. Logo
f(x)=-3+2^{-x}>-3
e, como 2^{-x} cresce sem limite à esquerda, f(x) atinge todos os valores maiores que -3.
Portanto, a imagem é
(-3,\infty).

Passo 4

Para resolver f(x)=10, montamos
-3+2^{-x}=10
2^{-x}=13
Aplicando logaritmo de base 2:
-x=\log_{2}(13) \quad\Longrightarrow\quad x=-\log_{2}(13)
ou, equivalentemente,
x=-\frac{\ln(13)}{\ln(2)}.

Resposta

(a) Gráfico de curva exponencial decrescente, assíntota horizontal em y=-3, passando por (0,-2), (1,-2,5) e (-1,-1).
(b) \mathrm{Im}(f)=(-3,\infty).
(c) x=-\log_{2}(13) (ou x=-\frac{\ln(13)}{\ln(2)}).

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