Questão 6
Para a função abaixo, com domínio real,
(a) faça um esboço do gráfico,
(b) determine sua imagem,
(c) determine o valor
, tal que
.
Resposta enviada:
Expectativa de Resposta:
Observações da correção:
- Nenhuma observação foi adicionada
(b) determine sua imagem,
(c) determine o valor
- Nenhuma observação foi adicionada
Passo 1
O enunciado apresenta a função
com domínio
. Precisamos:
– (a) fazer um esboço do gráfico;
– (b) determinar a imagem;
– (c) achar tal que
.
Vamos usar propriedades de funções exponenciais, transformações de gráficos e logaritmos.
– (a) fazer um esboço do gráfico;
– (b) determinar a imagem;
– (c) achar
Vamos usar propriedades de funções exponenciais, transformações de gráficos e logaritmos.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, note que
é obtida a partir de
por duas transformações:
- reflexão horizontal (porque trocamos
por ), produzindo , - deslocamento vertical de
unidades para baixo, somando .
Assim:
implica (assíntota horizontal em ),
implica à esquerda.
Pontos-chave para desenhar:
,
,
.
Desenhe uma curva decrescente passando por esses pontos e se aproximando dequando .
Passo 3
Para a imagem, observe que
para todo
. Logo
e, como
cresce sem limite à esquerda,
atinge todos os valores maiores que
.
Portanto, a imagem é
Portanto, a imagem é
Passo 4
Para resolver
, montamos
Aplicando logaritmo de base 2:
ou, equivalentemente,
Resposta
(a) Gráfico de curva exponencial decrescente, assíntota horizontal em
, passando por
,
e
.
(b) .
(c) (ou
).
(b)
(c)