(a) ( 0,5 ponto)Calcule a massa do sólido.
(b) (0,5 ponto) Calcule a coordenada \bar{z} do sólido, e responda: Essa coordenada está acima ou abaixo da metade do raio da esfera?

Passo 1

O enunciado descreve um hemisfério de raio R apoiado no plano xy, com densidade uniforme (que podemos tomar igual a 1). Precisamos calcular
– a massa M do hemisfério;
– a coordenada do centro de massa \bar z e comparar com R/2.
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Expressamos a massa como
M=\iiint_V \rho\,dV
com \rho=1. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos dV=r\,dz\,dr\,d\theta e o domínio V é
0\le \theta\le2\pi,\quad 0\le r\le R,\quad 0\le z\le\sqrt{R^2-r^2}.
Portanto
M=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\!\int_{0}^{\sqrt{R^2-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{R}r\Bigl[\!z\Bigr]_{0}^{\sqrt{R^2-r^2}}dr =2\pi\int_{0}^{R}r\sqrt{R^2-r^2}\,dr.
Fazendo u=R^2-r^2, du=-2r\,dr, obtém-se
\int_{0}^{R}r\sqrt{R^2-r^2}\,dr =\frac{1}{3}R^3.
Logo
M=2\pi\cdot\frac{1}{3}R^3=\frac{2}{3}\pi R^3.

Passo 3

Para \bar z calculamos o momento em relação ao plano xy:
M_z=\iiint_V z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\!\int_{0}^{\sqrt{R^2-r^2}} z\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos em z:
\int_{0}^{\sqrt{R^2-r^2}} z\,dz =\frac12\bigl(R^2-r^2\bigr),
portanto
M_z =2\pi\int_{0}^{R}r\cdot\frac{1}{2}(R^2-r^2)\,dr =\pi\int_{0}^{R}\bigl(R^2r-r^3\bigr)\,dr =\pi\Bigl[\tfrac12R^2r^2-\tfrac14r^4\Bigr]_{0}^{R} =\frac{1}{4}\pi R^4.

Passo 4

A coordenada \bar z do centro de massa é
\bar z=\frac{M_z}{M} =\frac{\tfrac{1}{4}\pi R^4}{\tfrac{2}{3}\pi R^3} =\frac{3}{8}R.
Como \tfrac{3}{8}R<\tfrac{1}{2}R, o centro de massa está abaixo de R/2.

Resposta

M=\dfrac{2}{3}\pi R^3 \displaystyle \bar z=\frac{3}{8}R, que é abaixo de \tfrac12R.

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