(a) ( 0,5 ponto)Calcule a massa do sólido.
(b)
ponto) Calcule a coordenada
do sólido, e responda: Essa coordenada está acima ou abaixo da metade do raio da esfera?
(b)
Passo 1
O enunciado descreve um hemisfério de raio
apoiado no plano
, com densidade uniforme (que podemos tomar igual a
). Precisamos calcular
– a massa do hemisfério;
– a coordenada do centro de massa e comparar com
.
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas.
– a massa
– a coordenada do centro de massa
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Expressamos a massa como
com
. Em coordenadas cilíndricas
temos
e o domínio
é
Portanto
Fazendo
,
, obtém-se
Logo
Passo 3
Para
calculamos o momento em relação ao plano
:
Integramos em
:
portanto
Passo 4
A coordenada
do centro de massa é
Como
, o centro de massa está abaixo de
.