(2,0 pontos)Encontre a área da região comum aos interiores do cardioide r=1+\cos \theta e o circulo r=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum aos interiores do cardioide
r = 1 + \cos\theta
e do círculo
r = 1.
Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares:
A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl[r_{\max}(\theta)\bigr]^2 \,d\theta,
onde r_{\max}(\theta) é o menor dos dois raios nas direções em que ambos existem.

Passo 2

Para encontrar os limites angulares em que as curvas se interceptam, igualamos
1 + \cos\theta = 1
que dá
\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}.
Esses são os ângulos onde os dois contornos se cruzam.

Passo 3

Precisamos descobrir, em cada intervalo de \theta, qual das duas curvas está mais “por dentro” (ou seja, tem raio menor):
Se \cos\theta \ge 0, então 1+\cos\theta \ge 1, logo o círculo r=1 está por dentro do cardioide.
Se \cos\theta < 0, então 1+\cos\theta < 1, logo o cardioide está por dentro do círculo.
Em termos de intervalos de \theta no ciclo completo 0\le\theta<2\pi, isso corresponde a:
\begin{cases} r_{\max}(\theta) = 1, & \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr],\\[6pt] r_{\max}(\theta) = 1+\cos\theta, & \theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\bigr]. \end{cases}]

Passo 4

Então a área comum é
A = \frac12 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1^2 \,d\theta + \frac12 \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (1+\cos\theta)^2 \,d\theta.

Passo 5

Calculemos cada parcela:
1. \displaystyle \frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,d\theta =\frac12\bigl[\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} =\frac12\bigl(\tfrac{\pi}{2}-(-\tfrac{\pi}{2})\bigr) =\frac{\pi}{2}. 2. \displaystyle \frac12\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(1+\cos\theta)^2\,d\theta.
Expandindo (1+\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta e usando \cos^2\theta = \tfrac{1+\cos2\theta}{2},
(1+\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \frac{1}{2} + \frac{\cos2\theta}{2} = \frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{\cos2\theta}{2}.
Logo
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(1+\cos\theta)^2\,d\theta = \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\Bigl(\tfrac{3}{2}+2\cos\theta+\tfrac{\cos2\theta}{2}\Bigr)d\theta.
Calculando termo a termo:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\tfrac{3}{2}\,d\theta =\tfrac{3}{2}\pi, \quad \int_{\pi/2}^{3\pi/2}2\cos\theta\,d\theta =2\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} =2(-1-1)=-4,
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\tfrac{\cos2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{4}\bigl[\sin2\theta\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} =0.
Somando,
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(1+\cos\theta)^2\,d\theta =\frac{3\pi}{2}-4,
e multiplicando por \tfrac12 vem
\frac12\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(1+\cos\theta)^2\,d\theta =\frac{3\pi}{4}-2.

Passo 6

Somando as duas parcelas:
A = \frac{\pi}{2} + \Bigl(\frac{3\pi}{4}-2\Bigr) = \frac{2\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} - 2 = \frac{5\pi}{4} - 2.

Resposta

A = \frac{5\pi}{4} - 2.

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