(2,0 pontos)Encontre a área da região comum aos interiores do cardioide
e o circulo
Passo 1
O enunciado pede a área da região comum aos interiores do cardioide
e do círculo
Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares:
onde
é o menor dos dois raios nas direções em que ambos existem.
Passo 2
Para encontrar os limites angulares em que as curvas se interceptam, igualamos
que dá
Esses são os ângulos onde os dois contornos se cruzam.
Passo 3
Precisamos descobrir, em cada intervalo de
, qual das duas curvas está mais “por dentro” (ou seja, tem raio menor):
– Se , então
, logo o círculo
está por dentro do cardioide.
– Se , então
, logo o cardioide está por dentro do círculo.
Em termos de intervalos de no ciclo completo
, isso corresponde a:
– Se
– Se
Em termos de intervalos de
Passo 4
Então a área comum é
Passo 5
Calculemos cada parcela:
Expandindo
Logo
Calculando termo a termo:
Somando,
e multiplicando por
vem
Passo 6
Somando as duas parcelas: