Determine as integrais abaixo.
integral x^2 cdot sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2,senx,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos aplicar esse método duas vezes, pois o polinômio x^2 tem grau 2.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = senx,dx
Daí
du = 2x,dx, v = integral senx,dx = -cos x
Aplicando integração por partes:
integral x^2,senx,dx = u,v - integral v,du = -x^2cos x - integral l(-cos xr),2x,dx = -x^2cos x + 2integral xcos x,dx

Passo 3

Agora calculamos
integral xcos x,dx
também por partes, escolhendo
u1 = x, dv1 = cos x,dx
Daí
du1 = dx, v1 = integral cos x,dx = sin x
Logo
integral xcos x,dx = u1v1 - integral v1,du1 = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x
Multiplicando por 2 (do passo anterior):
2integral xcos x,dx = 2xsin x + 2cos x

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do Passo 2, temos
integral x^2,senx,dx = -x^2cos x + l(2xsin x + 2cos xr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxedintegral x^2,senx,dx = -x^2cos x + 2xsin x + 2cos x + C

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