Determine as integrais abaixo.
integral d xraiz9+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral dxraiz9+x^2. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição trigonométrica para integrais que envolvem raiza^2 + x^2. Vamos usar a identidade trigonométrica e depois voltar a variável original.

Passo 2

Para lidar com raiz9+x^2, fazemos a substituição x = 3tantheta. Assim, temos:
x = 3tantheta Longrightarrow dx = 3sec^2theta,dtheta
e também
raiz9+x^2 = raiz9 + 9tan^2theta = 3sectheta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral dxraiz9+x^2 = integral 3sec^2theta,dtheta3sectheta = integral sectheta,dtheta

Passo 4

Agora a integral de sectheta é uma forma padrão. Sabemos que:
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 5

Voltemos à variável x: temos tantheta = x3 e sectheta = raiz9+x^23. Então:
lnl|sectheta + tanthetar| + C = lnl|raiz9+x^23 + x3r| + C

Passo 6

Podemos simplificar usando propriedades de logaritmo: retirar o 1/3 dentro do valor absoluto gera apenas uma constante que se absorve em C. Assim:
lnl|raiz9+x^2 + x3r| + C = lnl|x + raiz9+x^2r| + C'

Resposta

lnl|x + raiz9 + x^2r| + C

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