Determine as integrais abaixo:
integrale^infty 1x(ln x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integrale^infty1x(ln x)^3,dx
Estamos no tema de integrais impróprias e vamos usar a técnica de substituição para avaliar a convergência e obter o valor exato.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral com limite superior finito:
integrale^infty1x(ln x)^3,dx = limRtoinftyintegrale^R1x(ln x)^3,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
t = ln x, dt = dxx
Quando x=e, t=1. Quando x=R, t=ln R. A integral passa a ser
limRtoinftyintegral1^ln Rt^-3,dt

Passo 4

Calculamos a antiderivada de t^-3 usando a regra de potência:
integral t^-3,dt = -tfrac12,t^-2 + C
Logo,
integral1^ln Rt^-3,dt = [-tfrac12,t^-2]1^ln R = -12(ln R)^2 + 12

Passo 5

Tirando o limite Rtoinfty, note que ln Rtoinfty faz tfrac1(ln R)^2to0. Assim,
limRtoinftyl(-tfrac12(ln R)^2 + tfrac12r) = 12
Portanto a integral converge e vale tfrac12.

Resposta

12

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