Determine as integrais abaixo:
integral0^3 d xx^2-6 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^3 dxx^2-6x+5. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador do integrando e depois separar a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 6x + 5. Procuramos dois números que multiplicados dão 5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5. Então:
x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1(x-1)(x-5) como soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(x-1)(x-5) = Ax-1 + Bx-5
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-5), temos:
1 = A(x - 5) + B(x - 1)
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação. Primeiro, deixe x = 5:
1 = A(5 - 5) + B(5 - 1) Rightarrow 1 = 0 + 4B Rightarrow B = 14
Em seguida, deixe x = 1:
1 = A(1 - 5) + B(1 - 1) Rightarrow 1 = -4A + 0 Rightarrow A = -14

Passo 4

Com os valores de A e B encontrados, reescrevemos a integral:
integral0^3 ( -14x - 1 + 14x - 5 ) dx
Podemos simplificar isso para:
-14 integral0^3 dxx - 1 + 14 integral0^3 dxx - 5

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1x - a é ln|x - a| . Então:
-14 ln|x - 1| |0^3 + 14 ln|x - 5| |0^3

Passo 6

Vamos avaliar as expressões nos limites de integração, de 0 a 3:
Primeiro termo:
-14 ( ln|3 - 1| - ln|0 - 1| ) = -14 (ln 2 - ln 1) = -14 (ln 2 - 0) = -14 ln 2
Segundo termo:
14 ( ln|3 - 5| - ln|0 - 5| ) = 14 (ln 2 - ln 5) = 14 ln ( 25 )
Somando os dois termos:
-14 ln 2 + 14 ln ( 25 ) = -14 ln 2 + 14 (ln 2 - ln 5) = -14 ln 5

Resposta

O valor da integral é -dfrac14 ln5 .

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