Determine as integrais abaixo:
integral 3 x^3-x^2+6 x-4(x^2+1)(x^2+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3x^3 - x^2 + 6x - 4(x^2+1)(x^2+2),dx
Isso é um caso de integral de função racional. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar termos do tipo integral x/(x^2+a^2),dx e integral 1/(x^2+a^2),dx.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
3x^3 - x^2 + 6x - 4(x^2+1)(x^2+2) = Ax + Bx^2+1 + Cx + Dx^2+2
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x^2+2), obtemos
3x^3 - x^2 + 6x - 4 = (Ax + B)(x^2+2) + (Cx + D)(x^2+1)

Passo 3

Expandindo o lado direito e agrupando termos em potências de
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Da primeira e terceira equações vem . Da segunda e quarta vem e .

Passo 4

Portanto
3x^3 - x^2 + 6x - 4(x^2+1)(x^2+2) = 3x - 3x^2+1 + 2x^2+2
A integral se separa em
integral 3xx^2+1,dx ;-; 3integral 1x^2+1,dx ;+; 2integral 1x^2+2,dx

Passo 5

Usamos as fórmulas padrões:
integral xx^2+a^2,dx =12ln(x^2+a^2), integral 1x^2+a^2,dx =1aarctan!l(tfracxar)
Logo
integral 3xx^2+1,dx = tfrac32ln(x^2+1), -3integral 1x^2+1,dx = -3arctan x,
2integral 1x^2+2,dx =2cdot1raiz2arctan!l(tfracxraiz2r) =raiz2,arctan!l(tfracxraiz2r)

Resposta

integral 3x^3 - x^2 + 6x - 4(x^2+1)(x^2+2),dx = 32ln(x^2+1) -3arctan x +raiz2,arctan!l(tfracxraiz2r) + C

Exercícios relacionados