Usando a substituição trigonométrica adequada, calcule as integrais.
integral d xx^2 raizx^2+15

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxx^2raizx^2+15
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integrar funções da forma 1/(x^2raizx^2+a^2), onde a estratégia típica é usar
x = raiz15,tantheta

Passo 2

Fazendo a substituição
x = raiz15,tantheta,
temos
dx = raiz15,sec^2theta,dtheta,
e
raizx^2+15 = raiz15tan^2theta+15 = raiz15,sectheta

Passo 3

Substituindo na integral,
integral dxx^2raizx^2+15 = integral raiz15,sec^2theta,dtheta(raiz15,tantheta)^2;raiz15,sectheta = integral sec^2theta15,tan^2theta,sectheta,dtheta = 115integral secthetatan^2theta,dtheta
Reescrevendo sectheta/tan^2theta em termos de seno e cosseno,
secthetatan^2theta = 1/costhetasin^2theta/cos^2theta = costhetasin^2theta
Logo a integral vira
115integral costhetasin^2theta,dtheta

Passo 4

Para
integral costhetasin^2theta,dtheta
fazemos u=sintheta, du=costheta,dtheta. Então
integral costhetasin^2theta,dtheta = integral duu^2 = -1u+C = -1sintheta+C
Multiplicando pelo fator 1/15, obtemos
-115,sintheta+C

Passo 5

Volta para a variável x. Da substituição x=raiz15tantheta segue
sintheta = xraizx^2+15
Logo
-115,sintheta = -115,raizx^2+15x = -raizx^2+1515,x

Resposta

integral dxx^2raizx^2+15 = -raizx^2+1515,x + C

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