a) Verifique se f possui derivadas parciais na origem.
b) Verifique se f é diferenciável na origem.
Passo 1
A questão pede para checar em (0,0) as derivadas parciais de f e depois ver se f é diferenciável ali. Vamos usar a definição de derivada parcial via limites e, para diferenciabilidade, a condição de que o erro R(x,y)=f(x,y)-L(x,y) satisfaça R(x,y)/raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0).
Passo 2
Para partial fpartial x(0,0), usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Note que
f(h,0)=h^3h^2+0=h,
então
f(h,0)-0h=hh=1
Logo partialx f(0,0)=1.
Passo 3
Para partial fpartial y(0,0), fazemos
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Mas
f(0,k)=00+k^2=0,
então
0-0k=0
Logo partialy f(0,0)=0.
Passo 4
Para testar diferenciabilidade, a aproximação linear em (0,0) é