Questão 4: Seja
f(x, y)=l x^3x^2+y^2 ; se (x, y) neq(0,0) 0 ; se (x, y)=(0,0)
a) Verifique se f possui derivadas parciais na origem.
b) Verifique se f é diferenciável na origem.

Passo 1

A questão pede para checar em (0,0) as derivadas parciais de f e depois ver se f é diferenciável ali. Vamos usar a definição de derivada parcial via limites e, para diferenciabilidade, a condição de que o erro
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y) satisfaça R(x,y)/raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0).

Passo 2

Para partial fpartial x(0,0), usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Note que
f(h,0)=h^3h^2+0=h,
então
f(h,0)-0h=hh=1
Logo partialx f(0,0)=1.

Passo 3

Para partial fpartial y(0,0), fazemos
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Mas
f(0,k)=00+k^2=0,
então
0-0k=0
Logo partialy f(0,0)=0.

Passo 4

Para testar diferenciabilidade, a aproximação linear em (0,0) é
L(x,y)=partialx f(0,0)x+partialy f(0,0)y = x
Definimos o resto
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=x^3x^2+y^2-x =x^3 - x(x^2+y^2)x^2+y^2 = -x,y^2x^2+y^2

Passo 5

Agora checamos
|R(x,y)|raizx^2+y^2=|x|,y^2(x^2+y^2)^3/2
Se alongarmos a reta y=x, temos
|R(x,x)|raiz2x^2=|x|,x^2(2x^2)^3/2=|x|^32raiz2,|x|^3=12raiz2neq0
Como esse limite não se anula, R(x,y)/raizx^2+y^2 não tende a zero em todas as direções, logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

As derivadas parciais em (0,0) são
partialx f(0,0)=1 e partialy f(0,0)=0,
mas f não é diferenciável na origem.

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