Questão 2: Sejam f, g: R^2 R funções tais que
|f(x, y)-g(x, y)3| <=|x^5-2 x y+y^3+5x^-1 / 3|, forall(x, y) in R^2
Sabendo que lim (x, y) (0,0) g(x, y)=2, calcule, caso exista, lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g: R^2to R e a desigualdade\n |f(x,y)-g(x,y)3|<=|x^5-2xy+y^3+5x^-1/3|,forall(x,y)in R^2,além de sabermos que lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=2. O objetivo é calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) usando propriedades de limites e desigualdades.

Passo 2

Começamos manipulando a desigualdade para isolar f(x,y)-g(x,y). Multiplicando ambos os lados por 3 e usando 1/x^-1/3=x^1/3, obtemos:
|f(x,y)-g(x,y)|<=3,l|x^1/3(x^5-2xy+y^3+5)r|

Passo 3

Agora analisamos o limite do lado direito quando (x,y)to(0,0). Como a função x^1/3 é contínua em 0 e x^5-2xy+y^3+5to5, temos por propriedades de limite de produto:
lim(x,y)to(0,0)3l|x^1/3(x^5-2xy+y^3+5)r| =3cdot0cdot5=0

Passo 4

Logo lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)-g(x,y)|=0, ou seja, f(x,y)-g(x,y)to0. Assim lim f(x,y)=lim g(x,y).

Resposta

2

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