Sabendo que lim (x, y) (0,0) g(x, y)=2, calcule, caso exista, lim (x, y) (0,0) f(x, y).
Passo 1
O enunciado dá duas funções f,g: R^2to R e a desigualdade\n|f(x,y)-g(x,y)3|<=|x^5-2xy+y^3+5x^-1/3|,forall(x,y)in R^2,além de sabermos que lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=2. O objetivo é calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) usando propriedades de limites e desigualdades.
Passo 2
Começamos manipulando a desigualdade para isolar f(x,y)-g(x,y). Multiplicando ambos os lados por 3 e usando 1/x^-1/3=x^1/3, obtemos:
|f(x,y)-g(x,y)|<=3,l|x^1/3(x^5-2xy+y^3+5)r|
Passo 3
Agora analisamos o limite do lado direito quando (x,y)to(0,0). Como a função x^1/3 é contínua em 0 e x^5-2xy+y^3+5to5, temos por propriedades de limite de produto: