Usando a substituição trigonométrica adequada, calcule as integrais.
integral raiz2 x^2-4x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral integral raiz2x^2-4x,dx. O conteúdo é substituição trigonométrica para radicais da forma raizx^2-a^2. Vamos manipular o integrando para aplicar a mudança x=asectheta.

Passo 2

Extraímos o fator 2 dentro da raiz:
raiz2x^2-4 ;=;raiz2,raizx^2-2,
portanto
integral raiz2x^2-4x,dx =raiz2integral raizx^2-2x,dx
Fazemos a substituição
x = raiz2sectheta,
com thetainl(0,tfracpi2r) de modo que tantheta>=0.

Passo 3

Calculamos dx e expressamos a raiz em função de theta:
dx = raiz2secthetatantheta,dtheta, raizx^2-2 = raiz2tan^2theta = raiz2,tantheta

Passo 4

Substituindo em raiz2integral tfracraizx^2-2x,dx obtemos
raiz2integral raiz2tanthetaraiz2sectheta;l(raiz2secthetatantheta,dthetar) =2integral tan^2theta,dtheta

Passo 5

Usando a identidade tan^2theta=sec^2theta-1, temos
2integral (sec^2theta-1),dtheta =2l(tantheta-thetar)+C

Passo 6

Voltamos à variável . De segue
e
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Resposta

integral raiz2x^2-4x,dx = raiz2,raizx^2-2 -2arccos!l(tfracraiz2xr) + C

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