Determine as integrais abaixo.
integral 2 xx^2-5 x+6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2xx^2-5x+6,dx. O conteúdo envolve integrais de funções racionais e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para simplificar.

Passo 2

Observe que o denominador x^2-5x+6 fatora como
x^2-5x+6=(x-2)(x-3) Com a fatoração, escrevemos o integrando como soma de frações parciais:
2x(x-2)(x-3)=Ax-2+Bx-3 Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3) obtemos a identidade
2x = A(x-3)+B(x-2)

Passo 3

Comparando coeficientes de x e termo constante, temos o sistema:
A+B=2, -3A-2B=0 Resolvendo, encontramos A=-4 e B=6. Então
2x(x-2)(x-3)=-4x-2+6x-3

Passo 4

Agora a integral fica
integral 2xx^2-5x+6,dx = integral l(-4x-2+6x-3r)dx Integramos cada termo usando integral 1x-adx=ln|x-a|+C:
-4integral dxx-2 + 6integral dxx-3 = -4ln|x-2| +6ln|x-3| + C

Resposta

-4\ln|x-2| + 6\ln|x-3| + C

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