Encontre a integral que fornece o comprimento de arco da curva dada:
y=x e^-x^2, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=f(x)=x e^-x^2 para 0<= x<=1. O conteúdo é o comprimento de arco de uma função y=f(x), e vamos usar a fórmula
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x)=ddxl(x e^-x^2r) =e^-x^2+xl(-2xr)e^-x^2 =e^-x^2l(1-2x^2r)

Passo 3

Substituindo f'(x) na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L=integral0^1raiz1+l(e^-x^2(1-2x^2)r)^2;dx =integral0^1raiz1+e^-2x^2(1-2x^2)^2;dx

Resposta

L=integral0^1raiz1+e^-2x^2(1-2x^2)^2;dx

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